مدل رشد سولو (مدل ریاضی) | به زبان ساده
سولو یکی از نوابغ اقتصادی دنیا و برنده جایزه نوبل اقتصاد، مدلی برای تحلیل تاثیر عوامل مختلف تولید بر تغییرات آن ارائه کرد که همچنان در بسیاری پژوهش‌ها خصوصا بررسی رشد تولید ناخالص کشورها و قیاس جزئیات موثر بر آن کاربرد دارد.
در این مقاله، مدل ریاضی ، رشد سولو را بررسی خواهیم کرد.
مدل رشد سولو چیست؟
مدل رشد سولو یک مدل برون‌زا از رشد اقتصادی است که تغییرات سطح تولید را در یک سیستم اقتصادی در طول زمان، در نتیجه تغییرات در نرخ رشد جمعیت، نرخ پس‌انداز و نرخ پیشرفت فناوری تجزیه‌و‌تحلیل می‌کند.
مدل رشد سولو که توسط رابرت سولو، اقتصاددان برنده جایزه نوبل، توسعه یافت، اولین مدل رشد نئوکلاسیک بود و بر اساس مدل کینزی هارود-دومار ساخته شد. مدل سولو مبنای تئوری مدرن رشد اقتصادی است.
نمایش ساده شده از مدل رشد Solow
به‌طور عموم می‌دانیم مدلهای اولیه باید تا حد ممکن ساده باشند تا چهارچوب کلی تاثیر و تاثرهای متغیرهای بر روی هم مشخص شود. بعد از آن می‌توان به کالیبره کردن مدل بر اساس پیچیدگی‌های دنیای واقعی پرداخت.
در زیر یک نمایش ساده از مدل سولو ارائه شده است.
مفروضات:
1- جمعیت با نرخ ثابت g رشد می‌کند. جمعیت فعلی (N) و جمعیت آینده (N^ˊ) از طریق معادله رشد جمعیت به هم مرتبط هستند.
( N’ = N (1 + g
نرخ رشد جمعیت در این معادله g است
اگر جمعیت فعلی 100 نفر و نرخ رشد آن 2 درصد باشد، جمعیت آینده 102 نفر است.
N’= 100 (1+0/2)
2- همه مصرف‌کنندگان در اقتصاد نسبت ثابتی از درآمد خود را پس‌انداز می‌کنند و مابقی را مصرف می‌کنند.
بنابراین، مصرف (C) و تولید (Y) از طریق معادله زیر به هم مرتبط می‌شوند.
C= (1-s)Y
اگر مصرف‌کننده 100 واحد خروجی را به عنوان درآمد به دست آورد و نرخ پس انداز آن 40 درصد باشد، مصرف‌کننده 60 واحد مصرف می‌کند.
C= (1-0.4)100
3- همه بنگاه‌های اقتصادی با استفاده از فناوری تولید یکسانی که سرمایه و نیروی کار را به عنوان نهاده می‌گیرد، محصولات خود را تولید می‌کنند. بنابراین، سطح تولید (Y)، سطح سرمایه (K)، و سطح نیروی کار (L) همگی از طریق معادله تابع تولید به هم مرتبط هستند:
Y = aF(K,L)
مدل رشد Solow فرض می‌کند که تابع تولید بازده به مقیاس ثابت (CRS) را نشان می‌دهد. با چنین فرضی، اگر سطح موجودی سرمایه را دو برابر و سطح نیروی کار را دو برابر کنیم، سطح تولید را دقیقاً دو برابر خواهیم کرد.
در نتیجه، بسیاری از تحلیل‌های ریاضی مدل سولو به‌جای تولید کل و سرمایه کل، بر تولید به ازای هر نیروی کار و سرمایه هر نیروی کار است.
4. موجودی سرمایه فعلی (K)، موجودی سرمایه آتی (K’)، نرخ استهلاک سرمایه (d)، و سطح سرمایه گذاری سرمایه (I) از طریق معادله انباشت سرمایه مرتبط می‌شوند.
K’ = (1–d)K + sY
حل مدل رشد سولو
1- در تجزیه و تحلیل ما، فرض می‌کنیم که تابع تولید به شکل زیر است:
تابع تولید به عنوان تابع تولید کاب-داگلاس شناخته می‌شود، که پرکاربردترین تابع تولید در اقتصاد نئوکلاسیک است.
همراه با این فرض که شرکت‌ها رقابتی هستند، یعنی شرکت‌های قیمت‌گیر یا قیمت‌پذیر هستند (در شرایط رقابت کامل این بازار است که قیمت را تعیین می‌کند ، ضریب b سهم سرمایه (سهمی‌از درآمدی است که سرمایه دریافت می‌کند).
2- بنابراین، خروجی به ازای هر کارگر از طریق معادله زیر به دست می‌آید:
y = Y/L
k = K/L
y تولید به ازای نیروی کار و k سرمایه به اضای نیروی کار است.
3- با فرض تعادل رقابتی، ما به شرح زیر می‌رسیم:
معادله درآمد و هزینه به عنوان یک شرط تعادل برقرار است:
Y = C + I
محدودیت بودجه مصرف‌کننده:
Y = C + S
بنابراین، در حالت تعادل:
I = S = sY
4- معادله انباشت سرمایه می‌شود:
K’ = (1–d)K + sY
معادله انباشت سرمایه به ازای نیروی کار از طریق رابطه زیر به دست می‌آید:
(1+g) k’= (1-d)k + sy = (1-d)k + saf(k) = (1-d)k + sak^b
5- مفهوم راه حل مورد استفاده، حالت پایدار است. حالت پایدار حالتی است که در آن سطح سرمایه هر کارگر تغییر نمی‌کند. نمودار زیر را در نظر بگیرید:
6- حالت پایدار با حل معادله زیر بدست می‌آید:
7- بنابراین، ارزش حالت ثابت سرمایه به ازای هر کارگر و ارزش حالت ثابت خروجی به ازای هر کارگر به شرح زیر است:
مفاهیم مدل رشد Solow
رشدی در بلندمدت وجود ندارد. اما با شرطی که تقریبا در واقعیت امکان‌پذیر نیست.
اگر کشورها g (نرخ رشد جمعیت)، s (نرخ پس‌انداز) و d (نرخ استهلاک سرمایه) یکسانی داشته باشند، در این صورت حالت ثابت یکسانی دارند، بنابراین مدلهای رشد هم‌گرا می‌شوند، اما در حال می‌توان گفت مدل رشد سولو هم‌گرایی مشروط را پیش‌بینی می‌کند.
در طول این مسیر هم‌گرایی، یک کشور فقیرتر سریعتر رشد می‌کند. زیرا مقیاس رشد در سطوح پایین‌تر با معادل آن در سطوح بالا بسیار متفاوت است. در سطول بالای رشد مدل سولو در حال هم‌گرا شدن و کاهش شیب است.
کشورهایی با نرخ‌های پس‌انداز متفاوت، حالت‌های ثابت متفاوتی دارند و هم‌گرا نخواهند شد، یعنی مدل رشد سولو هم‌گرایی مطلق را پیش‌بینی نمی‌کند.
در نهایت باید اضافه کرد، وقتی نرخ‌های پس‌انداز متفاوت است، در کشوری با سرمایه اولیه پایین‌تر، رشد همیشه بالاتر نیست.